sábado

LA ECUACION DE SCHRODINGER

La ecuación de Schroedinger representa una parte esencial de la doctrina general de la Física moderna. Toda partícula en movimiento lleva asociada una onda Ÿ, cuya fórmula es: d2Ÿ/dx2 +(8 p2 m)/h2 (E - V) Ÿ = 0 (1) ecuación válida para casos estacionarios y problemas en una sola dirección, donde E es la energía total de la partícula, V la energía potencial y m la masa de la partícula a la que se asocia Ÿ. La deducción es simple; en Mecánica Cuántica, p = h/f y su correspondiente onda estacionaria, Ÿ = Aeipx/h Derivando esta expresión se llega a (1). En el caso de encontrarnos en el espacio, basta con sustituir el primer término de (1) por la suma de las tres derivadas parciales segundas en las tres direcciones del espacio, es decir, por la laplaciana de Ÿ, con lo que se obtendría una ecuación más general (2). Como se indicó anteriormente, las aplicaciones cuánticas introducidas por Bohr para explicar su modelo de átomo fueron insuficientes, aunque produjera grandes éxitos para el átomo de hidrógeno en las experiencias de la época. Sin embargo, nuevos hechos experimentales determinaron sucesivas ampliaciones de la teoría para poder explicarlos, como las siguientes: a) Teoría de Sommerfeld: discípulo de Bohr, desarrolló a partir de 1915 una visión más amplia de la teoría: órbitas elípticas, con la introducción de un segundo número cuántico l, desarrollo matemático de la estructura espacial del átomo, consideración de que el electrón en movimiento orbital equivale a una corriente eléctrica con producción de un campo magnético, etc. b) Efecto Zeeman: existencia de una interacción cuantificada entre el magnetismo del átomo y el campo externo, lo que implica orientaciones orbitales determinadas por un nuevo número cuántico magnético. c) Spin del electrón: el electrón gira sobre su propio eje a la vez que el movimiento de rotación sobre el núcleo, por lo que tiene momento angular orbital y momento angular propio o spin, con lo que se introduce un cuarto número cuántico. La mejor de las teorías sobre los multipletes, la idea del cuarto número cuántico, se debió a Wolfgrang Pauli, en 1924, en su descripción del spin del electrón. Pauli fue uno de los componentes más importantes del grupo de científicos que crearon la Teoría cuántica, el que formuló en 1925, lo que hoy se conoce como el Principio de Exclusión de Pauli, según el cual dos electrones no pueden tener nunca los cuatro números cuánticos iguales. d) Modelo vectorial: acoplamiento LS, que origina nuevos niveles energéticos que explicaban los resultados espectroscopios más ajustadamente. e) Reglas de selección: con todas las modificaciones anteriores se podían predecir más rayas espectrales que las detectadas experimentalmente, por lo que se establecieron unas reglas restrictivas a las variaciones de los números cuánticos. Toda esta obra científica constituye la denominada Mecánica Cuántica antigua, y es a partir de 1926 cuando se desarrolla la moderna, principalmente por Schroedinger y Heisenberg. La aplicación de la ecuación de Schroedinger al átomo de hidrógeno, un protón nuclear y un electrón cortical, ofrece el modelo actual más satisfactorio y comúnmente aceptado. En la ecuación (2), m es la masa reducida del sistema protón-electrón, y V es el potencial electrostático V = -e^2/4Πσr La resolución de esta ecuación se hace expresando la laplaciana en coordenadas polares, r, ceta y fi, y poniendo a la función de onda Ÿ como el producto de tres funciones de dichas coordenadas. Esto permite calcular por separado r, ceta y fi de tres ecuaciones independientes, relacionadas cada una de ellas con un número cuántico. Así aparecen los números cuánticos de la teoría antigua de una manera más natural y también se obtienen los valores cuantizados de la energía que coinciden con los de Bohr. Lo característico de este método cuántico seguido es que muestra al electrón en torno al protón de otra manera que la descripción clásica (órbita electrónica). Las órbitas de Bohr-Sommerfeld y epígonos son sustituídas por probabilidades de encontrar al electrón a una determinada distancia del núcleo, a partir de Ÿ y de su interpretación cuántica Ÿ^2, que determina los orbitales atómicos. La función de onda Ÿ determina el correspondiente orbital atómico y Ÿ^2 representa la probabilidad de encontrarlo, es decir, la distribución de carga, cuyo cálculo conduce a las conocidas formas geométricas de los orbitales (los esféricos s, los husos p, las formas más complicadas de los d, etc.) La dualidad onda-partícula explica el átomo. La existencia de órbitas permitidas en el átomo de Bohr fue un misterio cuando fue propuesto el modelo por primera vez. Ahora comprendemos que son las únicas órbitas para las que las descripciones del electrón como onda y partícula son consistentes; cuando la órbita del electrón es estable y su onda encaja, conseguimos una órbita permitida. Así, las órbitas de Bohr son aquellas para las que no constituyen ninguna diferencia si el electrón es una partícula o una onda.